Maxwell-yhtälöt ovat sähkömagneettisen teorian perusteita, joka muodostaa joukon neljästä yhtälöstä, jotka liittyvät sähkö- ja magneettikenttiin. Sen sijaan, että luettaisimme Maxwell-yhtälöiden matemaattisen esityksen, keskitymme siihen, mikä on näiden yhtälöiden todellinen merkitys tässä artikkelissa. Maxwellin ensimmäinen ja toinen yhtälö käsittelevät staattisia sähkökenttiä ja vastaavasti staattisia magneettikenttiä. Maxwellin kolmas ja neljäs yhtälö käsittelevät magneettikenttien muuttumista ja vastaavasti sähkökenttien muuttamista.
Maxwellin yhtälöt ovat:
- Gaussin sähkön laki
- Gaussin magneettilaki
- Faradayn induktiolaki
- Amperen laki
1. Gaussin sähkölaki
Tämän lain mukaan sähkövirta suljetulta pinnalta on verrannollinen kyseisen pinnan ympäröimään kokonaisvaraukseen. Gaussin laki käsittelee staattista sähkökenttää.
Tarkastellaan positiivisen pisteen varausta Q. Tiedämme, että sähkövirtajohdot on suunnattu positiivisesta varauksesta ulospäin.
Tarkastellaan suljettua pintaa, johon Charge Q on suljettu. Aluevektori valitaan aina Normaaliksi, koska se edustaa pinnan suuntaa. Olkoon sähkökentän vektorin ja aluevektorin tekemä kulma θ.
Sähkövirta ψ on
Syy pistetulon valitsemiseen on, että meidän on laskettava, kuinka paljon sähkövirta kulkee normaalin aluevektorin edustaman pinnan läpi.
Coulombs-lain perusteella tiedämme, että pistevarauksesta johtuva sähkökenttä (E) on Q / 4πε 0 r 2.
Pallon symmetria huomioon ottaen Gaussin lain kokonaismuoto on:
Siksi sähkövirta Ψ = Q suljettu / ε 0
Tässä suljettu Q edustaa kaikkien pinnan sisäisten varausten vektorisummaa. Latauksen ympäröivä alue voi olla minkä tahansa muotoinen, mutta Gaussin lain soveltamiseksi meidän on valittava Gaussin pinta, joka on symmetrinen ja jolla on tasainen varauksen jakauma. Gaussin pinta voi olla lieriömäinen tai pallomainen tai tasainen.
Differential-muodon saamiseksi meidän on sovellettava Divergence-teoreemaa.
Yllä oleva yhtälö on Gauss-lain tai Maxwell-yhtälön I differentiaalimuoto.
Yllä olevassa yhtälössä ρ edustaa tilavuuden varaustiheyttä. Kun meidän on sovellettava Gaussin lakia pintaan, jolla on viivavaraus tai pintavarausjakauma, on helpompaa esittää yhtälö varaustiheydellä.
Siksi voimme päätellä, että sähkökentän divergenssi suljetun pinnan yli antaa sen ympäröimän varauksen määrän (ρ). Soveltamalla divergenssiä vektorikenttään voimme tietää, toimiiko vektorikentän ympäröimä pinta lähteenä vai nieluna.
Tarkastelkaamme neliömetriä, jolla on positiivinen varaus, kuten yllä on esitetty. Kun sovellamme poikkeamaa laatikosta (neliönmuotoinen) tulevaan sähkökentään, matemaattisen lausekkeen tulos kertoo meille, että tarkasteltu laatikko (suorakulmainen) toimii lasketun sähkökentän lähteenä. Jos tulos on negatiivinen, se kertoo meille, että laatikko toimii altaana, ts. Laatikko sulkee siihen negatiivisen varauksen. Jos ero on nolla, se tarkoittaa, että siinä ei ole veloitusta.
Tästä voimme päätellä, että sähköisiä monopoleja on olemassa.
2. Gaussin magneettilaki
Tiedämme, että magneettivuon linja virtaa pohjoisnavasta etelänavan ulkopuolelle.
Koska kestomagneetista johtuu magneettivuon viivoja, siihen liittyy siihen liittyvä magneettivuon tiheys (B). Kun sovellamme divergenssilausea pintaan S1, S2, S3 tai S4, näemme, että valitulle pinnalle tulevien ja ulos menevien vuoviivojen määrä pysyy samana. Siksi divergenssilauseen tulos on nolla. Jopa pintojen S2 ja S4 välinen ero on nolla, mikä tarkoittaa , ettei pohjoisnapa eikä etelänapa toimi erikseen lähde tai uppoaa kuten sähkövaraus. Vaikka käytämme magneettikentän (B) divergenssiä virtaa johtavan johdon takia, se osoittautuu nollaksi.
Gaussin magneettilain kiinteä muoto on:
Gaussin magneettilain erilainen muoto on:
Tästä voimme päätellä, että magneettisia monopoleja ei ole olemassa.
3. Faradayn induktiolaki
Faradayn lain mukaan kun kelan tai minkä tahansa johtimen yhdistävä magneettivuo muuttuu (muuttuu ajan suhteen), kelaan indusoituu EMF. Lenzin mukaan EMF: n indusoima suunta on sellainen, että se vastustaa sitä tuottavan magneettivuon muutosta.
Yllä olevassa kuvassa, kun johtava levy tai johdin saatetaan muuttuvan magneettikentän vaikutuksen alaiseksi, siinä indusoidaan kiertovirtaa. Virta indusoidaan siihen suuntaan, että sen tuottama magneettikenttä vastustaa muuttuvaa magneettia, joka luo sen. Tästä kuvasta on selvää, että muuttuva tai vaihteleva magneettikenttä luo kiertävän sähkökentän.
Faradayn lain mukaan
emf = - dϕ / dt
Tiedämme sen, closed = suljettu pinta ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Sähkökenttä E = V / d
V = ʃ E. Dl
Koska sähkökenttä muuttuu pinnan (käpristyksen) suhteen, on olemassa potentiaaliero V.
Siksi Maxwellin neljännen yhtälön kiinteä muoto on
Soveltamalla Stoken lausea,
Syy Stoken lauseen soveltamiseen on se, että kun otamme pyörivän kentän käpristyksen suljetun pinnan yli, vektorin sisäiset käpristymiskomponentit peruuttavat toisensa ja tämä johtaa vektorikentän arvioimiseen suljettua polkua pitkin.
Siksi voimme kirjoittaa sen,
Maxwellin yhtälön differentiaalimuoto on
Edellä olevasta lausekkeesta on selvää, että ajan suhteen muuttuva magneettikenttä tuottaa kiertävän sähkökentän.
Huomaa: Sähköstaatiossa sähkökentän käpristymä on nolla, koska se tulee ulos säteittäisesti ulospäin varauksesta eikä siihen ole liitetty pyörivää komponenttia.
4. Amperen laki
Amperen laissa todetaan, että kun sähkövirta kulkee langan läpi, se tuottaa magneettikentän sen ympärille. Matemaattisesti magneettikentän integraali suljetun silmukan ympärillä antaa sen ympäröimän kokonaisvirran.
ʃ B .dl = μ 0 I suljettu
Koska magneettikenttä käpristyy langan ympärille, voimme soveltaa Stoken teosta Amperen lakiin.
Siksi yhtälöstä tulee
Voimme edustaa suljettua virtaa virtatiheydellä J.
B = μ 0 H käyttämällä tätä suhdetta voimme kirjoittaa lausekkeen
Kun sovellamme divergenssiä pyörivän vektorikentän käpristymään, tulos on nolla. Se johtuu siitä, että suljettu pinta ei toimi lähteenä tai uppoajana, ts. Pintaan tulevien ja ulos menevien vuon määrä on sama. Tämä voidaan matemaattisesti esittää seuraavasti:
Tarkastellaan piiriä alla olevan kuvan mukaisesti.
Piiriin on kytketty kondensaattori. Kun sovellamme divergenssiä alueella S1, tulos osoittaa, että se ei ole nolla. Matemaattisessa merkinnässä
Piirissä on virtavirta, mutta kondensaattorissa varaukset siirtyvät levyn poikki kulkevan sähkökentän vuoksi. Joten fyysisesti virta ei virtaa sen läpi. Maxwell loi tämän muuttuvan sähkövirran siirtovirraksi (J D). Mutta Maxwell termin siirtymävirta (J D) harkitsee symmetriaa Faradayn eli jos magneettikentän muuttuvassa ajassa tuottaa sähkökentän sitten symmetria, muuttamalla sähkökenttä tuottaa magneettikentän.
Magneettikentän voimakkuuden (H) käpristyminen alueella S1 on
Maxwellin neljännen yhtälön kiinteä muoto voidaan ilmaista seuraavasti:
Maxwellin neljännen yhtälön differentiaalimuoto on:
Kaikkia näitä yhtälöitä joko integraalimuodossa tai differentiaalimuodossa koottuina kutsutaan Maxwellin yhtälöksi.